I | APPROCHE INTUITIVE |
II | EQUILIBRE DE HARDY-WEINBERG |
II-1 | POUR UN GENE AUTOSOMAL, DIALLELIQUE, CO-DOMINANT |
II-1.1 | EXERCICE |
III | LOI DE HW |
III-1 | DEMONSTRATION DE LA LOI |
III-2 | EXERCICES |
III-3 | CONSEQUENCES DE LA LOI |
III-3.1 | QUELLE SERA LA FREQUENCE DES ALLELES A LA GENERATION n+ 1? |
III-3.2 | QUELLE SERA LA FREQUENCE DES GENOTYPES A LA GENERATION n+ 1? |
III-3.3 | EXEMPLE |
IV | EXTENSION DE HW A D'AUTRES SITUATIONS GENIQUES |
IV-1 | POUR UN GENE AUTOSOMAL, TRIALLELIQUE, CO-DOMINANT |
IV-2 | POUR UN GENE AUTOSOMAL, DIALLELIQUE, NON CO-DOMINANT |
IV-3 | POUR UN GENE AUTOSOMAL, TRIALLELIQUE, NON CO-DOMINANT |
IV-3.1 | FORMULE DE BERNSTEIN |
IV-4 | POUR UN GENE HETEROSOMAL (= gonosomique) |
IV-4.1 | CHROMOSOME Y |
IV-4.2 | CHROMOSOME X |
V | RESUME - CONSEQUENCES DE LA LOI DE HW |
*
I- APPROCHE INTUITIVE
La loi de Hardy-Weinberg permet, sous certaines conditions, le calcul des fréquences génotypiques à partir des fréquences allèliques. Ainsi:
soient A1 et A2 deux allèles d'un même locus,
p est la fréquence de l'allèle A1 | 0 ≤ p ≤ 1 | ||
q est la fréquence de l'allèle A2 | 0 ≤ q ≤ 1 | et p + q = 1 |
p2 = fréquence du génotype A1 A1 <-- HOMOZYGOTE
2pq = fréquence du génotype A1 A2 <-- HETEROZYGOTE
q2 = fréquence du génotype A2 A2 <-- HOMOZYGOTE
--> fréquence des génotypes : | AA = p2 | et des phénotypes [ ]: | [A] = p2 + 2pq |
Aa = 2pq | [a] = q2 | ||
aa = q2 |
Exemple : phenylcétonurie (autosomique récessive), dont le gène délétère a une fréquence de 1/100:
--> q = 1/100
donc, la fréquence de la maladie est q2 = 1/10 000,
et la fréquence des hétérozygotes est 2pq = 2 x 99/100 x 1/100 = 2/100;
Noter que les hétérozygotes sont nombreux: 1/50, deux cent fois plus que les atteints.
Pour une maladie rare, p est très peu différent de 1, et la fréquence des hétérozygotes = 2q.
Nous utilisons ces formules implicitement, en génétique formelle et en génétique des populations confondues, sans se préoccuper habituellement si, et sous quelles conditions, elles sont applicables.
II- EQUILIBRE DE HARDY-WEINBERG
L'équilibre de Hardy-Weinberg, encore appelé équilibre panmictique, a été mis en évidence au début du XXème siècle par plusieurs chercheurs, en particulier Hardy, mathématicien et Weinberg, médecin.
L'équilibre de Hardy-Weinberg est le modèle théorique central de la génétique des populations. La notion d'équilibre dans le modèle de Hardy-Weinberg est soumise aux hypothèses/conditions suivantes :
II-1. POUR UN GENE AUTOSOMAL, DIALLELIQUE, CO-DOMINANT (Allèles A1 et A2)
Soit:
Génotypes | A1A1 | A1A2 | A2A2 | ||
Effectifs | DN | HN | RN | (effectifs totaux N) | |
Fréquences F(G) | D | H | R | avec (D+H+R) = 1 |
fréquences allélique F(A) : | de A1 | D + H/2 = p | |
de A2 | R + H/2 = q | avec p+q=1 |
NOTES
proba tirer A1 = | tirer A1A1 : D x 1 de tirer ensuite A1 dans A1A1 |
ou | tirer A1A2 : H x 1/2 de tirer ensuite A1 parmi A1A2 |
somme: | -> P(A1) = D + H/2 |
II.1.1. EXERCICE
soit | les phénotypes | [A1] | [A1A2] | [A2] | ||
les génotypes | A1A1 | A1A2 | A2A2 | |||
les effectifs | 167 | 280 | 109 | total N : 556 |
calculer les fréquences suivantes : F(P : phénotypes) , F(G : génotypes), F(A: allèles), F(gamètes) :
F(A) = F(gam), car il y a 1 allèle (de chaque gène) par gamète
Ici, de plus, F(p) = F(G), car allèles co-dominants
F(P) = F(G) | 167/556 | 280/556 | 109/556 | |
Soit : | D=0.300 | H=0.504 | R=0.196 | vérifiez:Σ (D,H,R) =2 |
F(A) = F(gam.) | p = D+H/2 = (167+280/2)/ 556 soit 0.300+0.504/2 = 0.552 | |
q = R+H/2 = (109+280/2)/ 556 soit 0.196 + 0.504/2 = 0.448 | ||
vérifiez: Σ (p,q)=1 |
III- LOI DE HW
Dans une population dont l'effectif est infini (très grand), panmictique (mariages au hasard), en l'absence de mutation et de sélection, la fréquence des génotypes sera le développement de (p+q)2, p et q étant les fréquences alléliques
FIG.1
La figure montre la correspondance entre la fréquence allélique q de a et les fréquences génotypiques dans le cas de deux allèles en régime panmictique. La fréquence maximale des hétérozygotes H est alors atteinte lorsque p = q et H = 2pq = 0,50. A l'inverse, lorsque l'un des allèles est rare (ex: q très petit), presque tous les sujets possédant cet allèle se trouvent sous la forme hétérozygote.
III-1. DEMONSTRATION DE LA LOI
Soit un gène autosomique A dans une population sous deux formes allèliques A1 et A2 (de fréquences identiques dans les deux sexes, bien sûr). Comme il y a codominance, la distinction des 3 génotypes est possible. Sous les hypothèses/conditions de Hardy-Weinberg (HW), Les individus de la génération n + 1 seront considérés comme les descendants de l'union au hasard d'un gamète mâle et d'un gamète femelle.
Par conséquent, si, à la génération n, la probabilité de tirer un allèle A1 est p, celle de produire après la fécondation un zygote A1A1 est p x p = p2 de même pour A2, celle de produire un zygote A2A2 est q x q = q2. La probabilité de produire un hétérozygote est pq + pq = 2pq. Enfin, p2 + 2pq + q2 = (p+q)2 = 1
A1A1 | A1A2 | A2A2 | |
D = p2 | H=2pq | R = q2 | <- seulement sous HW |
Tableau des gamètes
A1 | A2 | |
(p) | (q) | |
_________ | __________ | |
A1 (p) | A1A1 (p2) | A1A2 (pq) |
A2 (q) | A1A2 (pq) | A2A2 (q2) |
III-2. EXERCICES
réponse:
si H = 0-> | p = D + H/2 = 0.5 | -> | D = 0.5 | H = 0 | R = 0.5 |
si H = 1-> | D = R = 0 | -> | D = 0 | H = 1 | R = 0 |
AA | AB | BB | |
1787 | 3039 | 1303 | N=6129 |
DN | HN | RN |
Vérification :
χ2 = | Σ
(Oi - Ci)2 Ci | = |
(1787 - 1787.2)2 1787.2 |
+ (3039 - 3044.9)2 3044.9 |
+ (1303 - 1296.9)2 1296.9 |
= NS |
III-3. CONSEQUENCES DE LA LOI
Evolution de HW au cours des générations (démonstration de l'invariabilité des fréquences). Dans une population sous HW, un équilibre concernant la distribution des fréquences génotypiques sera atteint en un seul cycle de reproduction.
Soit une population à la génération i :
III-3.1. QUELLE SERA LA FREQUENCE DES ALLELES A LA GENERATION n+1 ?
A1A1 | A1A2 | A2A2 | |
n | p2 | 2pq | q2 |
n + 1 | F(A1) = D + H/2 = p2 +1/2 (2pq) = p (p+q) = p |
F(A2) = R + H/2 = q2 +1/2 (2pq) = q (p+q) = q |
-> pas de modification des fréquences allèliques:
III-3.2. QUELLE SERA LA FREQUENCE DES GENOTYPES A LA GENERATION n+1 ?
mâle | p2 | 2pq | q2 | |||
femelle | A1A1 | A1A2 | A2A2 | |||
p2 | A1A1 | A1A1 | A1A1 | Pas de A1A1 | ||
2pq | A1A2 | 1/2 A1A1 | 1/4 A1A1 | Pas de A1A1 | Génération n+1 | |
q2 | A2A2 | Pas de A1A1 | Pas de A1A1 | Pas de A1A1 |
Fréquence de (A1A1) à la génération n+1 | = (p2)2 + 1/2 (2 pq.p2) + 1/2 (p2.2pq) + 1/4 (2pq)2 |
= p4 + p3q + p3q + p2q2 = p2 (p2 + 2pq + q2) = p2 |
La fréquence du génotype (A1A1) ne change pas en passant de la génération n à la génération n+ 1 (même démonstration pour les génotypes (A2A2 ) et (A1A2)).
Dès que la population est à l'équilibre de Hardy Weinberg la structure génotypique ne varie plus.
Dans de très nombreux exemples les fréquences observées dans les populations naturelles sont conformes à celles attendues par la loi de Hardy-Weinberg.
III-3.3. EXEMPLE
Les groupes sanguins MN chez l'homme
Groupes : | MM | MN | NN | |
Effectifs : | 1787 | 3039 | 1303 | Total, N = 6129 |
IV- EXTENSION DE HW A D'AUTRES SITUATIONS GENIQUES
IV-1. POUR UN GENE AUTOSOMAL, TRIALLELIQUE, CO-DOMINANT
3 allèles | A1, | A2, | A3 |
de fréquences | F(A1) = p, | F(A2) = q, | F(A3) = r |
A1A1 | A1A2 | A1A3 | A2A2 | A2A3 | A3A3 | |
Fréquences génotypiques sous HW | p2 | 2pq | 2pr | q2 | 2qr | r2 |
p | q | r | |||
A1 | A2 | A3 | |||
p | A1 | p2 | pq | pr | |
q | A2 | pq | q2 | qr | |
r | A3 | pr | qr | r2 |
IV-2. POUR UN GENE AUTOSOMAL, DIALLELIQUE, NON CO-DOMINANT
A est dominant sur a, récessif; dans ce cas les génotypes (AA) et (Aa) ne pourront pas être distingués dans la population. Seuls les individus de phénotype [A] d'effectif N1 pourront être reconnus des individus de phénotypes [a] d'effectif N2.
Génotypes | AA | Aa | aa |
Phénotypes | [A] | [a] | |
Effectifs | N1 | N2 | Total N |
Fréquences génotypiques | 1-q2 | q2 | |
Et la fréquence de l'allèle a = F(a) = (q2)/1/2 = (N2/(N1 + N2))1/2
Il s'agit d'une méthode couramment utilisée en génétique humaine pour calculer la fréquence des gènes récessifs rares.
Fréquences des homozygotes et des hétérozygotes pour des règnes récessifs rares chez l'homme
Gène | Incidence dans la population q2 | Fréquence allélique q | Fréquence des hétérozygotes 2pq |
Albinisme | 1/22500 | 1/150 | 1/75 |
Phénylcétonurie | 1/10 000 | 1/100 | 1/50 |
Mucopolysaccharidose | 11/90 000 | 1/300 | 1/150 |
IV-3. POUR UN GENE AUTOSOMAL, TRIALLELIQUE, NON CO-DOMINANT
Exemple: les systèmes des groupes sanguins ABO. Bien que le système des groupes sanguins (ABO) chez l'homme soit souvent pris comme un exemple simple de polyallélie, il représente cependant un cas relativement complexe à cause de la codominance de A et B, de la présence d'un allèle nul 0 et de la dominance de A et B sur 0.
Si l'on désigne par
les diverses fréquences génotypiques et phénotypiques sont observées en appliquant la loi de Hardy-Weinberg.
Phénotypes | Génotypes | Fréquences génotypiques | Fréquences phénotypiques |
[A] | (AA) | p2 | |
(AO) | 2pr | p2+2pr | |
[B] | (BB) | q2 | |
(BO) | 2qr | q2+2qr | |
[AB] | (AB) | 2pq | 2pq |
[O] | (OO) | r2 | r2 |
En utilisant les identités remarquables telles que:
IV-3.1. FORMULE DE BERNSTEIN (1930)
Les formules de Bernstein (1930) simplifient les calculs:
p = 1 - (F[B] + F[O])1/2
q = 1 - (F[A] + F[O])1/2
r = (F[O])1/2
puis, si p+q+r # 1, correction par la déviation D = 1 - (p + q + r) -->
p'= p (1 + D/2)
q'= q (1 + D/2)
r'= (r + D/2) (1 + D/2)
Exemple :
Groupes | A | B | O | AB |
Effectifs | 9123 | 2987 | 7725 | 1269 |
Fréquences | 0.4323 | 0.1415 | 0.3660 | 0.601 |
p = 1 - (0.3660+0.1415)1/2 = 0.2876
q = 1 - (0.3660+0.4323)1/2 = 0.1065
r = = 0.6050
p+q+r = 0.9991 ... --> p'= 0.2877, q'= 0.1065, r'= 0.6057.
IV-4. POUR UN GENE HETEROSOMAL (= gonosomique)
IV-4.1. CHROMOSOME Y : fréquence p et q chez le sujet XY; transmission aux descendants mâles
IV-4.2. CHROMOSOME X :
Femelle | XA1 XA1 | p2 |
XA1 XA2 | 2pq | |
XA2 XA2 | q2 | |
Mâle | XA1/Y | p |
XA2/Y | q |
soit qx chez l'homme, et qxx chez la femme, fréquences de l'allèle q :
* calcul de la différence des fréquences allèliques entre les 2 sexes :
qx(n) - qxx(n) = qxx(n-1) - (qxx(n-1))/2 - (qxx(n-1)) /2 = - 1/2 (qx(n-1) - qxx(n-1))
--> qx(n) - qxx(n) = (- 1/2)n (qx(0) - qxx(0)) : tend vers zéro en 8 à 10 générations
* fréquence moyenne q :
* exercice : Soit, en génération G0, 100% d'hommes normaux et 100% de femmes daltoniennes, calculer les fréquences du gène jusqu à G6 :
réponse
G0: X | XDXD |
G0 : qx(0) = 0.00 | qxx(0) = 1.00 |
G1 : qx(1) = 1.00 | qxx(1) = 0.50 |
G2 : qx(2) = 0.50 | qxx(2) = 0.75 |
G3 : qx(3) = 0.75 | qxx(3) = 0.63 |
G4 : qx(4) = 0.63 | qxx(4) = 0.69 |
G5 : qx(5) = 0.69 | qxx(5) = 0.66 |
G6 : qx(6) = 0.66 | qxx(6) = 0.60 |
FIG.2
Donc:
Pour un locus lié au sexe, l'équilibre de Hardy Weinberg est atteint de manière asymptotique au bout de 8-10 générations, alors qu'il est obtenu en 1 génération pour un locus autosomique.
V- RESUME - CONSEQUENCES DE LA LOI DE HW
Contributor(s) |
Written | 2001-02 | Robert Kalmes, Jean-Loup Huret |
Genetics, Dept Medical Information, UMR 8125 CNRS, University of Poitiers, CHU Poitiers Hospital, F-86021 Poitiers, France (JLH) |
© Atlas of Genetics and Cytogenetics in Oncology and Haematology | indexed on : Sat Dec 5 19:11:09 CET 2020 |
For comments and suggestions or contributions, please contact us